Månadens problem
april 2014 (lösning)

Cirkelträning

  Lätt:
Svar:
100o
Lösning:
Lösningen bygger på två geometriska satser.
1) Medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som bågvinkeln på samma cirkelbåge, dvs. vinkeln x är dubbelt så stor som vinkeln E.
2) Om en fyrhörning är inskriven i en cirkel är motstående vinklar 180o.

0,5 x + 130 = 180
          0,5x = 50
              x = 100
P.S. Om du inte känner till dessa båda satser kan du lösa problemet så här:
Svår:
Svar: Diametern i den mellersta cirkeln är 24 cm
Lösning:
Trianglarna OAP, OBQ och OCR är likformiga (topptriangelsatsen)
Då är även de likbenta trianglarna APZ, BQX och CRY likformiga.
Dessutom är trianglarna AXP och BYQ likformiga och sträckorna AX och BY parallella.
r1/r2 = AO/BO = XO/YO = BO/CO (trianglarna OBX och OCY)
Men BO/CO = r2/r3         Alltså är r1/r2 = r2/r
På motsvarande sätt kan man visa att r1/r2 = r2/r= r3/r4 = r4/r

Vi bildar nu ett ekvationssystem
r1/r2 = r4/r5
r2/r= r3/r4

r1r5 = r2r4
r2r4 = (r3)2 
Eftersom båda ekvationerna innehåller r2r4 inser vi att r1r5 = (r3)2 
Men vi vet ju att r1 = 18/2 cm = 9 cm och r5 = 32/2 cm = 16 cm
Alltså är (r3)2 = 9 . 16
(r3)2 = 144
r3 = ± 12 (Eftersom det gäller en sträcka, duger inte det negativa värdet)

Staffan Rösby har skickat in följande lösning:

De fem cirklarnas medelpunkter och tangeringspunkter sammanbinds med en rät linje.
En radie i varje cirkel dras mot den gemensamma tangeringslinjen. Fyra rätvinkliga och likformiga trianglar skapas.
De lodräta kateterna är i tur och ordning x - 9, y - x, z -y och 16 -z

 

 Tillbaka