Uppg. 1: 

Svar: 2 2/5

Lösning:
Talen är inte skrivna i vårt vanliga decimala talsystem (med basen 10).

Antag att talsystemets bas är x.
Ekv.:
(2^.x + 0)/4 = 6
           2x = 24
            x = 12
     
Talen är alltså skrivna i ett talsystem med basen 12.
20_tolv = 24_tio    1/4 av 24 = 6
10_tolv = 12_tio    1/5 av 12 = 2 2/5

Anm.: Förvandling mellan olika talsystem: Klicka här.
 

Uppg. 2: 

Svar: Alla talsystem med basen ≥ 3
 

Uppg. 3:

Här finns det två lösningar:

1) Talet är skrivet i ett annat talsystem.
Antag att talsystemet har basen x
(12_{bas x})/2 = 7
Detta kan också skrivas
(x + 2)/2 = 7
     x + 2 = 14
           x = 12
Svar: Talet tolv är skrivet i talsystemet med basen 12. I vårt decimala talsystem blir värdet 12 + 2 = 14. Hälften av 14 är 7.

2) Talet tolv är skrivet med romerska siffror.
   
 

Uppg. 4: 

Svar: Talen var skrivna i talsystemet med basen sex.

Lösning:
Antag att talsystemet har basen x
Talet 24 har då värdet 2x +4 i vårt decimala talsystem. Eftersom summan blev korrekt trots att eleven gjorde ett misstag, får vi följande ekvation:
2x + 4 = 2⁴
2x + 4 = 16
       x = 6
 

Uppg. 5:

Svar: Karl XII föreslog att Sverige skulle gå över till ett talsystem med basen 64.

Lösning:
Antag att Karl XII föreslog ett talsystem med basen x.
Talet 104 får då i vårt decimala talsystem värdet x² + 4
Det binära talet 1 000 000 000 100 har i vårt decimala talsystem värdet
2¹² + 4 = 4096 + 4 = 4100

Ekv.:
x² + 4 = 4100
       x₁ =  64
      (x₂ =  - 64)
 

Kommentar:
Karl XII redovisade sin idé för Emanuel Swedenborg, men denne tyckte inte att det var ett bra förslag. I stället för tio olika siffror (0 - 9) skulle man behöva 64 siffror och räkningarna skulle bli komplicerade! Dessutom var ju risken stor att Sverige skulle bli det enda landet i världen med detta talsystem.
(Min komm.: En multiplikationstabell upp till 64 x 64 skulle nog vara en mardröm för de flesta elever!)

Förvandling från decimalsystemet till det binära systemet: Klicka här.
 

Uppg. 6:

Svar:  
a) Talsystemet har basen sex.
b) Talet är 14_{bas sex}
Lösning:
Antag att talsystemets bas är x och att talets siffror är a och 4a

Ekv.:
4ax +a = 2,5(ax +4a)
4ax +a = 2,5ax + 10a
Dividera med a i båda leden.
4x + 1 = 2,5x + 10
   1,5x = 9
       x = 6

Då måste talets siffror vara 1 och 4 (2 och 8 duger ej, eftersom siffran 8 inte förekommer talsystemet med basen 6)
 

Uppg. 7:

Svar:
a) Talsystemet har basen tre.
b) Hassan hade vikterna 1 kg, 3 kg, 9 kg och 27 kg.

Lösning:
a) Antag att basen är x.
Eftersom Hassan kunde väga max 40 kg får vi ekvationen
 
x³ + x² + x + 1 =40
                  x = 3 ( vilket man lätt inser genom att testa x=2, x =3 och x =4)

b) Hassans vikter: 3³ kg = 27 kg, 3² kg = 9 kg, 3¹ kg = 3 kg och 3⁰ kg = 1 kg.
Vid behov placerade han vikter på båda vågskålarna.
Ex: Om en vara (på den högra vågskålen) vägde 11 kg, placerade han vikterna 9 kg och 3 kg på den vänstra vågskålen och 1 kg på den högra vågskålen.
 

Uppg. 8:

Svar: Baserna är tre, fyra, fem och sex.

Lösning:
Antag att baserna är x, x + 1, x + 2 och x +3

Ekv.:
x² + x + 1 + (x +1)² + (x + 1) + 1 +(x +2)² + (x + 2) + 1 = (x +3)² + 4(x + 3) + 5

x² + x + 1 + x² + 2x + 1 + x + 1 + 1 + x² + 4x + 4 + x + 2 + 1 = x² + 6x + 9 + 4x + 12 + 5

3x² + 9x + 11 = x² + 10x + 26

        2x² - x = 15

               x₁ = 3
              (x₂ = - 2,5)
 

Uppg. 9: 

Svar: SOL = 461 och BAD = 538

Lösning:
Antag att SOL = x och BAD = y

7(1000x + y) = 6(1000y + x)
         6994x = 5993y
Dividera med 13 i båda leden.
          538 x = 461y
Eftersom 538 och 461 inte har några gemensamma faktorer, är
x = SOL = 461 och y = BAD = 538
 

Uppg. 10: 

Svar: B = 1, E = 2, I = 5, S = 4 OCH T = 3

Lösning:
Låt oss först undersöka vilket värde, som B kan ha.
1² = 1, 2² = 4, 3² = 13, 4² = 24 och 5² = 41 i talsystemet med basen 6.
Slutsats: Eftersom (BEE)² och BITES ska har samma siffra längst till vänster, måste B = 1.

För att inte siffran längst till vänster i svaret ska påverkas av värdet på E, måste detta var litet.
Om E = 0, blir (BEE)²
(100_sex)² = (36_tio)² = 1296_tio = 10000_sex       Duger inte!
Om E = 2, blir (BEE)²
(122_sex)² = (50_tio)² = 2500_tio = 15324_sex      Duger!
Om E = 3,  blir (BEE)²
(133_sex)² = (57_tio)² = 3249_tio = 23013_sex       Duger inte!

Slutsats: B = 1, E = 2, I = 5, S = 4 och T = 3