- laborationer

Båda dessa laborationer bygger på sannolikhetsberäkningar.

Laboration 1 (lämplig för högstadiet).

Material: 
Rutat papper
passare








1.

2.

3. 


4.

Gör så här: 
Använd ett rutat A4-papper.
Rita cirklar, som tangerar varandra. Radien är 4 cm.
Med en spetsig penna sätter man slumpmässigt t.ex. hundra punkter på papperet.
Räkna antalet punkter som ligger inuti cirklarna. Punkter som ligger på cirklarnas omkrets räknas varannan gång. 
Multiplicera antalet punkter inuti cirklarna med 4 och dividera sedan med totala antalet punkter för att få ett närmevärde på
p. Värdet ligger oftast i intervallet 3,0 - 3,3 dvs. en avvikelse på mindre än 5%. Ett bättre närmevärde bör man givetvis få om man låter en hel klass räkna samman sina värden.

Teori:
Sannolikheten för att punkterna skall hamna inuti cirklarna är lika med förhållandet mellan arean av cirkeln och
arean av den omskrivna kvadraten:
P(
punkterna inuti cirkeln) = r2p/4r2 Û    p = 4*B/A
A= totala antalet punkter och B = antalet punkter inuti cirklarna.


Laboration 2 (lämplig för gymnasiet).

Material: 
Stort linjerat papper
tändsticka



























1.



2.





3. 


Gör så här: 
Använd ett stort papper (gärna 1 m x 1 m)
Rita parallella linjer. Avståndet mellan dem skall vara lika stort som längden av den tändsticka, som skall användas.

Kasta tändstickan så slumpmässigt som möjligt med avseende på
a) var tändstickan hamnar på papperet.
b) vinkeln mellan tändstickan och de parallella linjerna.  
Notera totala antalet kast resp. skärningar.
Multiplicera totala antalet kast med 2 och dividera sedan med antalet kast, där tändstickan skär en linje, för att få ett närmevärde på
p.
Anm.: 
1.
Det här sättet att bestämma
p upptäcktes av den franske vetenskapsmannen greve Buffon på 1700-talet. Den italienske matematikern Lazzerini fick fram närmevärdet 3,1415929 (den sjunde(!) decimal är felaktig) efter 3408 kast. Imponerande, men man måste onekligen fråga sig varför han valde att göra just 3408 kast. 
2. Tycker du att det verkar jobbigt att göra så många kast?
I så fall kan du testa simuleringar på nätet:
http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html 
http://stud2.tuwien.ac.at/~e9527412/buffon.html


Teori:
Två faktorer är avgörande för om stickan skär linjen:
a) avståndet d från stickans mittpunkt till  närmaste linje.
b) vinkeln v (i radianer) mellan linjen och stickan eller dess förlängning.
Låt stickans längd vara 1 längdenhet
Slutsats: Stickan skär linjen, om 1/2*sinv > d
I fig. till höger representerar det gröna fältet de gånger stickan skär en linje, medan rektangeln representerar samtliga kast.
Sannolikheten för skärning av en linje är lika med förhållandet mellan det gröna områdets area och rektangelns area.
Gröna området:

Rektangeln:
0,5p/2
P(skärning) = 0,5/(
0,5p/2) = 2/p
Û    p = 2*A/B
A= totala antalet kast och B = antalet skärningar mellan tändstickan och linjerna.